منزل كرة القدم

الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضياتالتيتجمعبينالأعدادالحقيقيةوالأعدادالتخيلية.تُستخدمهذهالأعدادفيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسةالكهربائية،والفيزياء،وعلومالحاسوب،وحتىفيالرسوماتثلاثيةالأبعاد.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،وخصائصها،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.الأعدادالمركبةComplexNumbers–شرحشامل

ماهيالأعدادالمركبة؟

العددالمركبهوأيعدديمكنكتابتهعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aهوالجزءالحقيقيمنالعدد.
-bهوالجزءالتخيليمنالعدد.
-iهيالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد-1،أي:
[i=\sqrt{ -1}]

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركبعلىالمستوىالديكارتي(مستوىالأعدادالمركبة)حيثيُرسمالجزءالحقيقيعلىالمحورالأفقي(محورالسينات)والجزءالتخيليعلىالمحورالرأسي(محورالصادات).يُعرفهذاالتمثيلباسممخططأرغاند،حيثيمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالإحداثياتالقطبيةكالتالي:
[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)]
حيث:
-rهوطولالمتجه(المُعَامِل).
-θهيالزاويةالتييصنعهاالمتجهمعالمحورالأفقي.

العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:
   عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالأجزاءالتخيليةبشكلمنفصل.
   [(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]

   

   الأعدادالمركبةComplexNumbers–شرحشامل

2. الضرب:
   عندضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعمعتذكرأن(i^2=-1).
   [(a+bi)\times(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i]

   الأعدادالمركبةComplexNumbers–شرحشامل

3. القسمة:
   لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(يتمعكسإشارةالجزءالتخيلي).
   [\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]

   الأعدادالمركبةComplexNumbers–شرحشامل

المرافقالمركب(ComplexConjugate)

مرافقالعددالمركب(z=a+bi)هوالعدد(\overline{ z}=a-bi).يُستخدمالمرافقفيتبسيطالعملياتالحسابيةمثلالقسمة،كماأنهيساعدفيحسابمعاملالعددالمركب:
[|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]

تطبيقاتالأعدادالمركبة

• الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلدوائرالتيارالمتردد.
• معالجةالإشارات:تساعدفيتحويلاتفورييهلتحليلالترددات.
• الرسوماتالحاسوبية:تُستخدمفيإنشاءتأثيراتثلاثيةالأبعاد.

الخاتمة

الأعدادالمركبةليستمجردمفهومنظري،بللهاتطبيقاتعمليةواسعةفيالعلوموالهندسة.فهمهايتيحللطلابوالمهندسينحلمسائلمعقدةبسهولةأكبر.نأملأنيكونهذاالمقالقدقدمشرحًاواضحًاومفيدًالهذاالموضوعالمهم.